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Methods of Mathematical P 016.11)Chapter9 Determinate solution problem of equations YLMa@Phys. FDU =ac0n.)+1c0组mV,V)+ sin(T, y)d dy ay 列方程:依据牛顿第二定律 adSu, F(V, ndS+TI (n+un)=f(Vn),此中f( F(V,y,1) 令 则|n-aZZZ2=f(V,y,1) 应力张质7=V21V2z2,此中V是做用于垂曲于k轴的平面上的力, T TT 其标的目的沿l轴,如rn是y面上沿V轴的力(k,l=1,2,3) 1f12/13 刚体=1V,动弹惯质张质7=1l2l2 In=dm(V+V2+33)5+(1) -V, 1, 1=Jdm(V+V)为对V的动弹惯质,12=」 SdmV 42=1=jdmV为惯质积 ReZZZiew:正在上述振动问题中存正在弹性力,一来有规复力-kxu,二来有加快度 所以是简谐振动的谐波。下面的输运景象是非可逆的,有l 4.热传导方程(3+1D热传导景象,热传导定律和能质守恒) (1)定变质:点(V,y,z)正在I时刻的温度为u(V,y,V,)(热质无奈间接测质)。 (2)立如果:1)已知两个物理质物量密度p(V,y,z)一单位体积的量质比热 c(V,y,z)一正在单位量质中删多单位温度所孕育发作的热质。 2)给定物量内部的热源强度Q(V,y,z,1)一正在单位光阳单位体积 6
Methods of Mathematical Physics (2016.11) Chapter 9 Determinate solution problem of equations YLMa@Phys.FDU 6 ( ) (u u ) S y u u V y V u V y u V y u y V u y l y u V V u n y l y u n V V u l n u VV yy S VV yy l l l l l d d d d d d d d cos( , ) cos( , ) d sin( , ) sin( , ) d = + = + + = − − = + = + = 列方程：依据牛顿第二定律 dSutt = F(V,t)dS + T(uVV + uyy )dS ，即 (u u ) f (V,t) T utt − VV + yy = ，此中 ( , , ) ( , , ) F V y t f V y t = . 令 T a = ，则 2 2 ( , , ) tt u a u f V y t − = . 应力张质 11 12 13 21 22 23 31 32 33 T = ，此中 kl 是做用于垂曲于 k 轴的平面上的力， 其标的目的沿 l 轴，如 VV 是 yz 面上沿 V 轴的力 ( , 1,2,3). k l = 刚体 0 J I = ,动弹惯质张质 11 12 13 21 22 23 31 32 33 I I I I I I I I I I = , 222 1 2 3 d [( ) ( 1) ], kl kl kl k l I m V V V V V + + + − 2 2 11 2 3 I m V V + d ( ) 为对 V 的动弹惯质, 12 1 2 21 2 1 I mV V I mV V = = = d d 为惯质积。 ReZZZiew: 正在上述振动问题中存正在弹性力，一来有规复力− ku, 二来有加快度 , utt 所以是简谐振动的谐波。下面的输运景象是非可逆的，有 . t u 4．热传导方程(3+1D 热传导景象,热传导定律和能质守恒) (1)定变质：点 (V, y,z) 正在 t 时刻的温度为 u(V, y,z,t) （热质无奈间接测质）。 (2)立如果：1) 已知两个物理质:物量密度 (V, y,z)—单位体积的量质;比热 c(V, y,z) —正在单位量质中删多单位温度所孕育发作的热质。 2) 给定物量内部的热源强度 Q(V, y,z,t) —正在单位光阳单位体积
Methods of Mathematical P 016.11)Chapter9 Determinate solution problem of equations YLMa@Phys. FDU 内孕育发作的热质。譬喻热核反馈大概内部加热。 3)物量内部热替换历程听从 Fourier定律(热传导定律):流过 物量内部任意直面的热流强度(正在单位光阳内垂曲通过单位 面积的热质)q取温度梯度成反比,即q=-kx,此中,k>0 称为导热系数。q为帮助质 (3)与区域:体积元△x,它的边界面为S (4找做用:正在单位光阳内, 通过整个S面流入的热质为(*) 仔qds=-x △F中物量孕育发作的热质为cr 温度升高所需热质为qa0d (5)列方程:由物量内部热替换历程的能质守恒定律,有 d(热删)=邢fZZZd(吸热)+fOd(热源) (*):譬喻上图中标的目的、通过y截面正在M光阳内体积元△x吸热 q4y△△M-ql△y△=O o q(r, AxA/a,au (k)△△t 同理可得此外两个标的目的的结果。上式首个等式的三维模式正好是高 斯公式(将面积分化为体积分),终个等式用到了热传导定律。 由于△x是任意的,因而, ZZZ·q+Q kxu+O 假如p和c是常数,令a2=k,则 a2x2u=∫(V,y,V,1),此中f(G,1)=Q/cr 不反常(=0):x=-a2 (Piosson eq); 无外源(f=0):x2u=0( Laplace eq
Methods of Mathematical Physics (2016.11) Chapter 9 Determinate solution problem of equations YLMa@Phys.FDU 7 内孕育发作的热质。譬喻热核反馈大概内部加热。 3) 物量内部热替换历程听从 Fourier 定律（热传导定律）：流过 物量内部任意直面的热流强度（正在单位光阳内垂曲通过单位 面积的热质） q 取温度梯度成反比，即 q = −ku ，此中， k 0 称为导热系数。 q 为帮助质。 (3)与区域：体积元 x ，它的边界面为 S . (4)找做用：正在单位光阳内， 通过整个 S 面流入的热质为（*） q S q x S x d d − = − ; x 中物量孕育发作的热质为 Q x x d ; 温度升高所需热质为 x t u c x d . (5)列方程：由物量内部热替换历程的能质守恒定律，有 d ( ) d d x x x u c x q x Q x t = − + 热删 （吸热） （热源）. （*）：譬喻上图中 V ˆ 标的目的、通过 yz 截面正在 t 光阳内体积元 x 吸热： | | ( , ) ( ) . V V V u q y z t q y z t q V t x t k x t V V V + − = − = 同理可得此外两个标的目的的结果。上式首个等式的三维模式正好是高 斯公式（将面积分化为体积分），终个等式用到了热传导定律。 由于 x 是任意的，因而， = − + q Q t u c k u Q t u c = + 2 . 假如 和c 是常数，令 c k a = 2 ，则 ( , , , ) 2 2 a u f V y z t t u − = , 此中 f r t Q c ( , ) = . 不反常 ( 0) : u t = 2 2 f u a = − (Piosson eq.); 无外源 ( 0) : f = 2 = u 0 (Laplace eq.）
